Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. В математике существуют задачи, в которых необходимо произвести поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде или произвести поиск количества корней, которое имеет уравнение в зависимости от значения параметра. Все эти задачи с параметрами.
Рассмотрим следующие уравнения в качестве наглядного примера:
\[у = kx,\] где \ - переменные, \- параметр;
\[у = kx + b,\] где \ - переменные, \ - параметр;
\[аx^2 + bх + с = 0,\] где \ - переменная, \[а, b, с\] - параметр.
Решить уравнение с параметром значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений.
Однако, придерживаясь определенного алгоритма, можно легко решить такие уравнения:
1. Определить "контрольные" значения параметра.
2. Решить исходное уравнение относительно [\x\] при значениях параметра, определенных в первом пункте.
3. Решить исходное уравнение относительно [\x\] при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.
Допустим, дано такое уравнение:
\[\mid 6 - x \mid = a.\]
Проанализировав исходные данные, видно, что a \[\ge 0.\]
По правилу модуля \ выразим \
Ответ: \ где \
Где можно решить уравнение с параметром онлайн?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
1. Системы линейных уравнений с параметром
Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.
Пример 1.
Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.
{х + (а 2 – 3)у = а,
{х + у = 2.
Решение.
Рассмотрим несколько способов решения данного задания.
1 способ . Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а 1 = b/b 1 ≠ c/c 1). Тогда имеем:
1/1 = (а 2 – 3)/1 ≠ а/2 или систему
{а 2 – 3 = 1,
{а ≠ 2.
Из первого уравнения а 2 = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.
Ответ: а = -2.
2 способ . Решаем методом подстановки.
{2 – у + (а 2 – 3)у = а,
{х = 2 – у,
{(а 2 – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.
После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:
{(а 2 – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.
Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть
{а 2 – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.
Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.
Ответ: а = -2.
Пример 2.
Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.
{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.
Решение.
По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а 1 = b/b 1 = c/c 1). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.
Ответ: а = 4.
2. Системы рациональных уравнений с параметром
Пример 3.
{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.
Решение.
Умножим первое уравнение системы на 2:
{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.
Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).
Ответ: а = 4.
Пример 4.
Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.
{х + у = а,
{у – х 2 = 1.
Решение.
Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1)
. Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:
1,25 = 0,5 + а;
Ответ: а = 0,75.
Пример 5.
Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.
{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.
Решение.
Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:
{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.
Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:
ах + а 2 х – а 2 – а + 2ах – 2а – 2 = 2;
а 2 х + 3ах = 2 + а 2 + 3а + 2.
Квадратный трехчлен а 2 + 3а + 2 представим в виде произведения скобок
(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:
(а 2 + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).
Очевидно, что а 2 + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,
а 2 + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.
Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.
Пример 6.
Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.
{х 2 + у 2 = 9,
{у – |х| = а.
Решение.
Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы
х 2 + у 2 = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2
рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.
Ответ: а = 3.
Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Loading...