Расчет цепей с использованием законов Кирхгофа

Законы Кирхгофа используют для нахождения токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы через b , число ветвей, содержащих источники тока, через b И T , число узлов - у . В каждой ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с источниками тока известны, то число неизвестных токов равняется (b - b И T). Перед тем как составлять уравнения, необходимо произвольно выбрать: а) положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме; б) положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.

Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу узлов без единицы, т.е. у - 1. По второму закону Кирхгофа составляют число уравнений n , равное

n= b - b И T - (у - 1).

При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляются уравнения, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа, т.е. число уравнений по второму закону Кирхгофа равно числу независимых контуров.

Пример 1. Найти токи в ветвях схемы рис. 1.13, в которой Е 1 = 80 В, Е 2 = 64В, R 1 = 6 Ом, R 2 = 4 Ом, R 3 = 3 Ом, R 4 = 10 Ом.

Рис. 1.13

Решение. Произвольно выбираем положительные направления тока в ветвях. В схеме рис. 1.13 b =3; b ИТ =0; y =2.

Следовательно, по первому закону Кирхгофа можно составить только одно уравнение y -1=1:

По второму закону Кирхгофа составим два уравнения. Положительные направления обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

Для контура R 1 E 1 R 2 E 2

Знак плюс перед I 1 R 1 взят потому, что направление тока совпадает с направлением обхода контура, а знак минус перед I 2 R 2 потому, что направление I 2 встречно обходу контура.

Для контура E 2 R 2 R 3 R 4:

Совместное решение трех уравнений дает

I 1 = 14 A, I 2 = -15 A, I 3 = -1 A.

В рассматриваемом примере отрицательными оказались токи I 2 и I 3 , это следует понимать так, что в действительности токи I 2 и I 3 направлены в обратную сторону.

Метод контурных токов

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей.

Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором в качестве неизвестных принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, составляемых для схемы по второму закону Кирхгофа. Преимуществом этого метода, по сравнению с методом на основе законов Кирхгофа, является меньшая вычислительная работа, так как в нем меньше уравнений.

Вывод основных расчетных уравнений проведем применительно к схеме рис. 1.14, содержащей два независимых контура. Положим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток I 11 , а в правой (также по часовой) - контурный ток I 22 . Для каждого из контуров составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтем, что в смежной ветви (с сопротивлением R s ) течет сверху вниз ток I 11 - I 22 . Направления обхода контуров примем также по часовой стрелке.

Для первого контура

Для второго контура

. (1.25)

Рис. 1.14

В уравнении (1.24) множитель при токе I 11 , являющийся суммой сопротивлений первого контура, обозначим через R 11 , множитель при токе I 22 (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус), – через R 12 .

В уравнении (1.25) множитель при токе I 22 , являющийся суммой сопротивлений второго контура, обозначим через R 22 , множитель при токе I 11 (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус), – через R 21 .

Перепишем эти уравнения следующим образом:

где R 11 и R 22 - полное или собственное сопротивление первого и второго контуров соответственно; E 11 и Е 22 - контурные ЭДС первого и второго контуров, равные алгебраической сумме ЭДС этих контуров; R 12 = R 21 -сопротивление смежной ветви между первым и вторым контуром, взятое со знаком минус, так как контурные токи по ветви протекают встречно.

Если в схеме больше контуров, например три, то система уравнений в общем виде выглядит следующим образом:

(1.26)

В результате решения системы уравнений (1.26) какой-либо один или несколько контурных токов могут оказаться отрицательными.

В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами, найденный контурный ток является истинным током ветви. В смежных ветвях через контурные токи определяются токи ветвей.

Если в электрической цепи имеется n независимых контуров, то число уравнений тоже равно n .

Общее решение системы n -уравнений относительно тока I kk таково:

где D - определитель системы.

Алгебраическое дополнение ∆ km , получено из определителя ∆ путем вычеркивания k -го столбца и m -й строки и умножения полученного определителя на (-1) k + m .

Составлению уравнений по методу контурных токов для схем с источниками тока присущи некоторые особенности. В этом случае полагаем, что каждая ветвь с источником тока входит в контур, замыкающийся через ветви с источниками ЭДС и сопротивлениями, и что токи в этих контурах известны и равны токам соответствующих источников тока. Если для схемы рис. 1.15 принять, что контурный ток I 11 = J течет согласно направлению часовой стрелки по первой и второй ветвям, а контурный ток I 22 = I 3 замыкается также по часовой стрелке по второй и третьей ветвям, то, согласно методу контурных токов, получим только одно уравнение с неизвестным током I 22:

Отсюда и ток второй ветви I 2 =I 11 -I 22 =J -I 22 .

E 3

Учреждение образования

«Гродненский государственный университет имени Янки Купалы»

Технологический колледж

Специальность: 2-360331 «Монтаж и эксплуатация

электрооборудования»

Группа МиЭЭ-17з

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Теоретические основы электротехники»

Расчет линейных электрических цепей

переменного тока

Вариант №44

Разработал: Куликов А.Г.

Руководитель: Дубок Н.Д.

Задание на курсовую работу

Заданы три приёмника электрической энергии со следующими параметрами: Z 1 = -j65 Ом, Z 2 = 14+j56 Ом, Z 3 =56- j23 Ом. Рассчитать режимы работы электроприёмников при следующих схемах включения:

1.Присоединить приёмники последовательно к источнику с напряжением U = 300 В. Определить полное сопротивление цепи Z, ток I, напряжения на участках, угол сдвига фаз, мощности участков и всей цепи, индуктивности и ёмкости участков. Построить топографическую векторную диаграмму цепи.

2. Присоединить приёмники параллельно к источнику с напряжением

U = 300 В. Определить токи в ветвях и в неразветвленной части цепи, углы сдвига фаз в ветвях и во всей цепи, мощности ветвей и всей цепи. Построить векторную диаграмму цепи.

3. Составить из приёмников цепь с двумя узлами, включив в каждую

ветвь соответственно электродвижущую силу E 2 =230 В и Е 3 = j240 B. Рассчитать в комплексной форме токи в ветвях, напряжения на участках, мощности источников и приёмников, составить уравнение баланса мощностей. Построить векторную диаграмму в комплексной плоскости. Для расчёта применить метод контурных токов.

4. Соединить приёмники в звезду с нулевым проводом (Z N = -j32 Ом), и подключить их к трёхфазному источнику с линейным напряжением U Л =380 В. Определить фазные токи и напряжения источника, напряжение смещения нейтрали и ток в нулевом проводе. Построить топографическую векторную диаграмму в комплексной плоскости.

5. Соединить приёмники в треугольник и подключить его к тому же источнику трехфазного напряжения. Определить фазные и линейные напряжения и токи, мощности фаз и всей цепи. Построить векторную диаграмму цепи в комплексной плоскости.

6. Присоединить приёмники последовательно к источнику несинусоидального тока i=7Sin(wt+13 0)+1,2Sin(2wt-86 0)+0,4Sin3wtA. Определить действующие значения тока и напряжения, активную мощность цепи. Записать уравнения мгновенных значений напряжения в цепи. Значения сопротивлений считать для частоты первой гармоники.

1 Расчёт неразветвлённой цепи с помощью векторных диаграмм

В задании на курсовую работу сопротивления даны в комплексной форме. Так как расчёт цепи нужно выполнить с помощью векторных диаграмм, определяем соответствующие заданным комплексам активные и реактивные сопротивления: X С1 = 65 Ом, R 2 = 14 Ом, X L 2 =56 Ом, R 3 =56 Ом,Х C 3 = 23 Ом.

Из заданных приёмников составляем неразветвлённую цепь (рис. 1).

Рисунок 1

Определяем активные и реактивные сопротивления всей цепи:

R = R 2 + R 3 = 14 + 56 = 70 Ом;

X = -X C 1 + X L 2 – X C 3 = - 65 + 56 - 23 = - 32 Ом.

Полное сопротивление всей цепи тогда определяем из выражения:

= 77 Ом.

Ток в цепи будет общим для всех приёмников и определится по закону Ома:

I = U / Z = 300/77 = 3.9 A.

Угол сдвига фаз между напряжением и током определяется по синусу

Sin j = X / Z или тангенсу Tg j = X / R,

так как эти функции являются нечётными и определяют знак угла “плюс” или “минус”. Положительный знак угла указывает на активно-индуктивный (или чисто индуктивный) характер нагрузки, а отрицательный знак угла указывает на активно-ёмкостный (или чисто ёмкостный) характер. Таким образом, угол сдвига фаз между напряжением и током определим по синусу

Sin j= X/Z = - 32/77 = - 0,4156;j = - 24.56°; Cos j = 0,9096.

Напряжения на участках цепи определяем также из формулы закона Ома:

U C1 = I * X C1 = 3.9 *65 =253.5 B.

U R2 = I * R 2 = 3.9 * 14 = 54.6 B.

U L2 = I * X L2 = 3.9 * 56 = 19.5 B

U R3 = I * R 3 = 3.9 * 56 = 19.5 B

U C 3 = I * X C 3 = 3.9 * 23 = 89.7 B.

Определяем активные и реактивные мощности участков цепи:

Q C1 = I 2 * X C1 =3.9 2 *65 = 989 вар.

P 2 = I 2 * R 2 =3.9 2 * 14 = 213 Bт.

Q L2 = I 2 * X L2 = 3.9 2 *56 = 852 вар.

P 3 =I 2 *R 3 = 3.9 2 *56= 852 Вт

Q С3 = I 2 * X С3 = 3.9 2 *23 =350 вар.

Активная, реактивная и полная мощности всей цепи соответственно будут равны:

P = P 2 + P 3 = 213 +852 =1065 Вт.

Q = -Q C 1 + Q L 2 - Q С3 = -989+852- 350 = - 487 вар.

=1171 B*A.

Полную, активную и реактивную мощности всей цепи можно определить также по другим формулам:

S = U * I =300 *3.9 =1170 В*А.

Р = S * Cosj =1170* 0,9096 =1064 Вт,

Q = S * Sin j=1170*(- 0,4154) = - 486 вар.

Определяем ёмкость и индуктивность участков. Угловая частота ω = 2 πf = 2 * 3,14 * 50 = 314 с- 1

C 1 = 1/wXc 1 =1/(314*65)= 0,000049 Ф = 49 мкФ

L 2 = X L 2 /w = 56/314 = 0,178 Гн

С 3 = 1/wX С3 = 1/(314*23) = 0,000138 Ф = 138 мкФ.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами тока и напряжения, которые будут соответственно равны M I = 0,25 A/см и M U = 25 B/см.

Построение топографической векторной диаграммы начинаем с вектора тока, который откладываем вдоль положительной горизонтальной оси координат. Векторы напряжений на участках строятся в порядке обтекания их током с учётом того, что векторы напряжений на активных элементах

R2 и R3 совпадают по фазе с током и проводятся параллельно вектору тока. Вектор напряжения на индуктивности L2 опережает ток по фазе на угол 90 0 и поэтому откладывается на чертеже вверх по отношению к току. Векторы напряжений на ёмкости С1 и отстают от тока по фазе на угол 90 0 и откладываются на чертеже вниз по отношению к току. Вектор напряжения между зажимами цепи проводится с начала вектора тока в конец вектора С3 . На векторной диаграмме отмечаем треугольник напряжений ОАВ, из которого активная составляющая напряжения

Uа = U R 2 + U R 3

и реактивная составляющая напряжения

Uр = -U С1 + U L 2 – U С3 .

Топографическая векторная диаграмма построена на рисунке 2.

M I = 0,5 А/см

М U = 25 В/см

Рисунок 2

2 Расчёт разветвлённой цепи с помощью векторных диаграмм

Присоединяем заданные приёмники параллельно к источнику напряжения. Это значит, что цепь состоит из трех ветвей, для которых напряжение источника является общим. Схема цепи показана на рисунке 3.

Расчёт параллельной цепи выполняем по активным и реактивным составляющим токов.

Рисунок 3

Этот метод предусматривает использование схемы замещения с последовательным соединением элементов. В данном случае три параллельные ветви рассматриваются как три отдельные неразветвлённые цепи, подключенные к одному источнику с напряжением U. Поэтому в начале расчёта определяем полные сопротивления ветвей:

Z 1 = Хс 1 = 65 Ом.

= = 57.7 Ом.

= 60.5 Ом.

Углы сдвига фаз между напряжениями и токами в ветвях определяются также по синусу (или тангенсу):

Sinφ 1 = -1; j 1 = - 90°;Cosφ 1 = 0

Sinφ 2 = X L 2 / Z 2 = 56 / 57.7 = O.9705; j 2 = 76.05°; Cosφ 2 = 0.241.

Sinφ 3 = - X C 3 /Z 3 = - 23/60.5= - 0.38; φ3 = - 22.34°; Cosφ 3 = 0.9249.

Затем можно определять токи в ветвях по закону Ома:

I 1 = U / Z 1 =300 / 65 = 4.62 А.

I 2 = U / Z 2 = 300 / 57.7 = 5.2 А.

I 3 = U / Z 3 = 300 / 60.5 = 4.96А.

Для определения тока в неразветвлённой части цепи нужно знать активные и реактивные составляющие токов в ветвях и неразветвленной части цепи:

Ip 1 = I 1 *Sinj 1 = 4.62*(- 1) = - 4.62 A.

Ia 2 = I 2 *Cosφ 2 = 5.2 * 0,241 = 1.25A;

Ip 2 = I 2 *Sinφ 2 = 5.2 * 0,9705 = 5.05A;

Ia 3 = I 3 *Cosj 3 = 4.96*0.9249 = 4.59 A.

Ip 3 = I 3 *Sinj 3 = 4.96*(- 0.38) = - 1.88 A.

Активная и реактивная составляющие тока в неразветвлённой части цепи:

Ia = Ia 2 + Ia 3 = 1.25+4.59 = 5.84 A.

Ip = Ip 1 + Ip 2 + Ip 3 = - 4.62+5.05 – 1.88 = - 1.45 A.

Полный ток в неразветвлённой части цепи:

= 6.02 A.

Угол сдвига фаз на входе цепи:

Sinφ = I P / I = - 1.45/6.02 = - 0.2409; φ = -13.94 0 ; Cosφ = 0.9706.

Активные, реактивные и полные мощности ветвей:

Q C1 = I 1 2 *X C1 = 4.62 2 *65 = 1387 вар.

S 1 = U*I 1 = 300*4.62 = 1387 B*A.

P 2 = I 2 2 * R 2 = 5.2 2 * 14 = 379Вт.

Q L2 = I 2 2 * X L2 = 5.2 2 * 56 =1514 вар.

S 2 = U * I 2 = 300 * 5.2 =1560 В*А.

P 3 = I 3 2 *R 3 = 4.96 2 *56 = 1378 Bт

Q C3 = I 3 2 * X C3 = 4.96 2 * 23 =566 вар.

S 2 = U * I 2 = 300 *4.96 = 1488 В*А

Активные, реактивные и полные мощности всей цепи:

P = P 2 + P 3 = 379 + 1378 =1757 Вт.

Q = - Q C 1 + Q L 2 - Q C 3 = - 1387 +1514 -566 = - 439 вар.

= 1811 В*А, или

S = U * I = 300*6.02 = 1806 В*А.

P = S*Cosφ = 1806 * 0,9706 = 1753 Вт.

Q = S * Sinφ = 1806*(- 0.2404) = - 434вар.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами напряжений M U = 25 В/см и токов M I = 0.5 А/см. Векторную диаграмму начинаем строить с вектора напряжения, который откладываем вдоль горизонтальной положительной оси. Векторная диаграмма токов строится с учётом того, что активные токи Ia 2 и Ia 3 совпадают по фазе с напряжением, поэтому их векторы параллельны вектору напряжения; реактивный индуктивный ток I p 2 отстает по фазе от напряжения, и его вектор строим под углом 90 0 к вектору напряжения в сторону отставания; реактивные емкостные токи I p 1 и I p 3 опережают по фазе напряжение, и их векторы строим под углом 90° к вектору напряжения в сторону опережения. Вектор тока в неразветвлённой части цепи строим с начала построения в конец вектора емкостного тока Ip 3 . Векторная диаграмма построена на рисунке 4.

M I = 0,5 А/см

М U = 25 В/см

Ia 3 I 3 Ip 3 Ip

Рисунок 4

3 Расчёт сложных цепей переменного тока символическим методом

Электрическая схема цепи и комплексная схема замещения представлены на рисунке 5а и б соответственно.

Рисунок 5

Намечаем в независимых контурах заданной цепи, как показано на рисунке 5б, контурные токи I K 1 и I K 2 – некоторые расчётные комплексные величины, которые одинаковы для всех ветвей выбранных контуров. Направления контурных токов принимаются произвольно. Для определения контурных токов составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа:

I K1 *(Z 1 + Z 2) – I K2 *Z 2 = E 2

- I K1 *Z 2 +I K2 *(Z 2 +Z 3)= E 3 - E 2

Подставляем данные в систему:

I K 1 *(- j65+14+j56) – I K 2 *(14+j56) = 230

I K 1 *(14+j56) +I K 2 *(14+j56+56 – j23) = j240-230

I K 1 *(14-j9) – I K 2 *(14+j56) = 230

-I K 1 *(14+j56) + I K 2 *(70+j33) = -230+ j240

Решаем систему с помощью определителей. Определитель системы:

=1277-j168+2940– j1568=4217-j1736

Частные определители:

= 16100+j7590–16660-j9520= -560–j1930.

=-1060+j5430+3220+j12880 = 2160+j18310

Определяем контурные токи:

I K 1 =

= 0.0476-j0.438 A.

I K 2 =

= - 1.09+ j3.89 A.

Действительные токи в ветвях цепи определяем как результат наложения контурных токов:

I 1 = I K1 = 0.0476 – j0.438 = 0.441

I 2 = I K1 -I K2 = 0.0476.- j0.438+1.09- j3.89 = 1.14 – j4.33 = 4.48

I 3 = I K 2 = -1.09 + j3.89 = 4.04

Составляем уравнение баланса мощностей в заданной электрической цепи. Определяем комплексные мощности источников:

S E 2 = E 2 *

=230(1.14+j4.33) = 262+j996=1030B*A

S E 23 = E 3 *

= j240*(-1.09 – j3.89) = 912 – j262 = 949B*A

Определяем комплексные мощности приёмников электрической энергии:

S 1 = I 1 2 *Z 1 =0.441 2 *(– j65) = – j12.6 =12.6

B*A

S 2 = I 2 2 *Z 2 = 4.48 2 *(14+j56) = 281+j1124=1159

B*A

S 3 = I 3 2 *Z 3 = 4.04 2 *(56 – j23) = 914– j375 =988

B*A.

Уравнение баланса комплексных мощностей!

S Е 1 + S E2 =S 1 + S 2 +S 3 ;

262+j996+912-j262 = – j12.6+281+j1124+914– j375

1174+ j734 @ 1182+ j749; 1385

@ 1400

Относительная и угловая погрешности незначительны.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов M I = 0.25 А/см и ЭДС M E = 50 В/см. Векторная диаграмма в комплексной плоскости построена на рисунке 6.

4 Расчёт трёхфазной цепи при соединении приемника в звезду

Схема заданной цепи изображена на рисунке 7.

Определяем систему фазных напряжений генератора. Фазное напряжение:

= 380/1,73=220 В.

Комплексные фазные напряжения генератора:

U A = U Ф = 220 B

U B = U A e - j 120 = 220e - j 120 = –110 – j191 B

U C = U A e j 120 = 220e j 120 = –110 + j191 B

Определяем полные проводимости фаз приёмника:

= j0,01538 См.

= 0.0042-j0.0168 См.

= 0.0153+j0.00628Cм. == j0.03125 См.

Рисунок 7

Узловым напряжением является в данном случае напряжение смещения нейтрали, которое определяется по формуле:

= (j3.38-3.67+j1.05-2.88+j2.23)/(0.05075+j0.00486) = (-6.55+j6.66)/(0.0195+j0.03611)= 67+j218 = 228

Определяем фазные напряжения на нагрузке:

U A / = U A – U N = 220- (67+j218) = 153-j218 = 266

U B / = U B – U N = (–110-j191) - (67+j218) = -177-j409 =446

U C / = U C –U N =(–110+j191) - (67+j218) = -177 – j27 = 179

Определяем токи в фазах нагрузки:

I A = U A / *Y A = (153-j218)*(j0.01538) = 3.35+j2.35 = 4.1

I B = U B / *Y B = (-177-j409)*(0.0042-j0.0168) = -7.61+j1.26 =7.72

I C =U C / *Y C = (-177 – j27)*(0.0153+j0.00628)=- 2,53–j1,52= 2,96

I N = U N *Y N = (67+j218)*j0.03125 = - 6,8 + j2,09 = 7,12*

Проверяем правильность определения токов по первому закону Кирхгофа для точки N’:

I A + I B + I C =I N

3.35+j2.35 -7.61+j1.26 - 2,53 – j1,52 @ - 6,8 + j2,09;

6,79+j2.09 @ - 6,8 + j2,09.

Определяем комплексные мощности фаз и всей цепи:

S A = I A 2 * Z 1 = 4,1 2 *(-j65) = -j1092=1092

B*A.

S B = I B 2 * Z 2 = 7,72 2 *(14+j56) = 834+j3338 =3440

B*A

S C = I C 2 * Z 3 = 2,96 2 *(56-j23) = 491 – j 202 = 530

B*A.

S = S A + S B + S C = -j1092+ 834+j3338+ 491 – j 202 = 1325+j2044 =

B*A.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов M I = 1 А/см и напряжений M U = 40 B/см. Векторная диаграмма на комплексной плоскости построена на рисунке 8.

5 Расчёт трёхфазной цепи при соединении приёмника в треугольник

Схема заданной цепи изображена на рисунке 9

Рисунок 9.

В данном случае линейные напряжения генератора являются фазными

напряжениями нагрузки:

U AB = U Л = 380 В.

U BC = 380

= -190-j329 B.

U CA = 380

= -190+j329 B.

Определяем систему фазных токов нагрузки:

I AB =

= = j5,85 = 5,85 A

I BC =

= = -6,32+j1,81 = 6,58 A

I CA =

= = -4,96+j3,83 = 6,27A

Систему линейных токов определяем из соотношений.

Список решенных вариантов данной задачи вы можете посмотреть .

Если вы хотите заказать платное решение нужного вам варианта данной задачи , тогда мы в кратчайшие сроки выполним его и выложим .

Расчетное задание № 1

Разветвленная цепь постоянного тока

Рабочее задание

1. Записать по законам Кирхгофа систему уравнений для определения неизвестных токов и ЭДС в ветвях схемы.
2. Определить ЭДС в первой ветви и токи во всех ветвях схемы методом контурных токов. Проверить выполнение законов Кирхгофа.
3. Для исходной схемы определить узловые потенциалы (относительно выбранного базового узла), используя найденные значения токов и ЭДС первой ветви и закон Ома для участка цепи.
4. Составить систему уравнений по методу узловых потенциалов для исходной схемы (базовый узел тот же, что при выполнении п.3). Подставив найденные в п.3 значения узловых потенциалов, проверить выполнение системы узловых уравнений.
5. Составить баланс мощности.
6. Определить ток во второй ветви (R 2 , E 2) методом эквивалентного генератора.
7. Определить входную проводимость второй ветви.
8. Определить взаимную проводимость второй ветви и k -ветви * .
9. Определить величину и направление ЭДС, которую необходимо дополнительно включить:
а) во вторую ветвь,
б) в k -ветвь,
чтобы ток во второй ветви увеличился в два раза и изменил свое направление (при постоянстве всех остальных параметров схемы).
10. Найти и построить зависимость тока k -ветви от:
а) тока второй ветви
б) сопротивления второй ветви
(при постоянстве всех остальных параметров схемы).
11. Найти и построить график зависимости мощности, выделяющейся в сопротивлении R 2 при его изменении от 0 до ∞ и при постоянстве всех остальных параметров схемы.

* k =1 для (N + n ) – четных, k =3 для (N + n ) – нечетных, где N – номер группы, n – порядковый номер, под которым фамилия студента записана в журнале группы.

Методические указания

1. Номер схемы соответствует порядковому номеру, под которым фамилия студента записана в групповом журнале.
2. Числовые данные параметров схемы приведены в таблице и выбираются в соответствии с номером группы.
3. Окончательные результаты расчета п.п.2 и 3 должны быть получены для исходной схемы.
4. При выполнении п.5 режим холостого хода второй ветви используется для определения ЭДС эквивалентного генератора. При этом расчет токов в схеме, образовавшейся в результате разрыва второй ветви, следует выполнять методом узловых потенциалов с приведением схемы холостого хода к схеме с двумя узлами.

Закон Ома – падение напряжения на элементе равно произведению величины сопротивления этого элемента на величину тока, протекающего через него.

Первый закон Кирхгофа – сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из узла.

Второй закон Кирхгофа – в замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений источников электрической энергии равна алгебраической сумме падений напряжений на элементах контура. При обходе контура в произвольно выбранном направлении значения напряжений берутся с плюсом, если направление обхода контура и направления напряжений совпадают и берутся с минусом, если этого совпадения нет.

Расчет методом эквивалентного преобразования

Этот метод применяется для не очень сложных пассивных электрических цепей, такие цепи встречаются довольно часто, и поэтому этот метод находит широкое применение. Основная идея метода состоит в том, что электрическая цепь последовательно преобразуется ("сворачивается") до одного эквивалентного элемента, как это показано на рис. 1.13, и определяется входной ток. Затем осуществляется постепенное возвращение к исходной схеме ("разворачивание") с последовательным определением токов и напряжений.

Последовательность расчёта:

1. Расставляются условно–положительные направления токов и напряжений.

2. Поэтапно эквивалентно преобразуются участки цепи. При этом на каждом этапе во вновь полученной после преобразования схеме расставляются токи и напряжения в соответствии с п. 1.

3. В результате эквивалентного преобразования определяется величина эквивалентного сопротивления цепи.

4. Определяется входной ток цепи с помощью закона Ома.

5. Поэтапно возвращаясь к исходной схеме, последовательно находятся все токи и напряжения.

Рассмотрим этот метод на примере (рис. 1.15). В исходной схеме расставляем условно–положительные направления токов в ветвях и напряжений на элементах. Нетрудно согласиться, что под действием источника E с указанной полярностью направление токов и напряжений такое, какое показано стрелками. Для удобства дальнейшего пояснения метода, обозначим на схеме узлы а и б. При обычном расчете это можно не делать.

Затем, объединяя все последовательно соединенные элементы, завершаем эквивалентное преобразование схемы (рис. 1.15, в):

В последней схеме (рис. 1.15, в) находим ток I 1:

Теперь возвращаемся к предыдущей схеме (рис. 1.15, б). Видим, что найдCенный ток I 1 протекает через R 1 , R 2,3 , R 4 и создает на них падение напряжения. Найдем эти напряжения:

.Возвращаясь к исходной схеме (рис. 1.15, а), видим, что найденное напряжениеU аб прикладывается к элементам R 2 и R 3 .

Значит, можем записать, чтоU 2 = U 3 = U а,б

Токи в этих элементах находят из совершенно очевидных соотношений:

Итак, схема рассчитана.

расчет с помощью законов кирхгофа

Этот метод наиболее универсален и применяется для расчета любых цепей. при расчете этим методом первоначально определяются токи в ветвях, а затем напряжения на всех элементах. токи находятся из уравнений, полученных с помощью законов кирхгофа. так как в каждой ветви цепи протекает свой ток, то число исходных уравнений должно равняться числу ветвей цепи. число ветвей принято обозначать через n . часть этих уравнений записываются по первому закону кирхгофа, а часть – по второму закону кирхгофа. все полученные уравнения должны быть независимыми. это значит, чтобы не было таких уравнений, которые могут быть получены путем перестановок членов в уже имеющемся уравнении или путем арифметических действий между исходными уравнениями. при составлении уравнений используются понятия независимых и зависимых узлов и контуров. рассмотрим эти понятия.

независимым узлом называется узел, в который входит хотя бы одна ветвь, не входящая в другие узлы. если число узлов обозначим через к , то число независимых узлов равно (к –1). на схеме (рис. 1.16) из двух узлов только один независим.

независимым контуром называется контур, который отличается от других контуров хотя бы одной ветвью, не входящей в другие контура. в противном случае такой контур называется зависимым .

если число ветвей цепи равно n , то число независимых контуров равно [n – (к –1)].

в схеме (рис. 1.16) всего три контура, но только два независимых контура, а третий – зависим. выделять независимые контура можно произвольно, т. е. в качестве независимых контуров можно выбрать при первом расчете одни, а при втором расчете (повторном) – другие, которые раньше были зависимыми. результаты расчета будут одинаковыми.

если по первому закону кирхгофа составить уравнения для (к –1) независимых узлов, а по второму закону кирхгофа составить уравнения для [n – (к –1)] независимых контуров, то общее число уравнений будет равно:

(K –1) + [n – (K –1)] = n .

Это означает, что для расчёта имеется необходимое число уравнений.

Последовательность расчёта:

1. Расставляем условно – положительные направления токов и напряжений.

2. Определяем число неизвестных токов, которое равно числу ветвей (n ).

3. Выбираем независимые узлы и независимые контура.

4. С помощью первого закона Кирхгофа составляем (К –1) уравнений для независимых узлов.

5. С помощью второго закона Кирхгофа составляем [n – (К –1)] уравнений для независимых контуров. При этом напряжения на элементах выражаются через токи, протекающие через них.

6. Решаем составленную систему уравнений и определяем токи в ветвях. При получении отрицательных значений для некоторых токов, необходимо их направления в схеме изменить на противоположные, которые и являются истинными.

7. Определяем падения напряжений на всех элементах схемы.

Рассмотрим последовательность расчета на примере схемы, приведенной на рис. 1.16. Учитывая направление источника E , расставляем условно–положительные направления токов и напряжений. В схеме три ветви, поэтому нам необходимо составить три уравнения. В схеме два узла, следовательно, из них только один независимый. В качестве независимого узла выберем узел 1. Для него запишем уравнение по первому закону Кирхгофа:

I 1 = I 2 + I 3 .

Далее необходимо составить два уравнения по второму закону Кирхгофа. В схеме всего три контура, но независимых только два. В качестве независимых контуров выберем контур из элементов E –R 1 –R 2 и контур из элементов R 2 – R 3 . Обходя эти два контура по направлению движения часовой стрелки, записываем следующие два уравнения:

E = I 1 ,R 1 + I 2 R 2 ,

0 = – I 2 R 2 + I 3 R 3 .

Решаем полученные три уравнения и определяем токи в ветвях. Затем через найденные токи по закону Ома определяем падения напряжений на всех элементах цепи.

расчет методом контурных токов

Сложные схемы характеризуются наличием значительного числа ветвей. В случае применения предыдущего метода это приводит к необходимости решать систему из значительного числа уравнений.

Метод контурных токов позволяет заметно уменьшить число исходных уравнений. При расчёте методом контурных токов используются понятия независимого контура и зависимого контура, которые нам уже известны. Кроме них в этом методе используются ещё следующие понятия:

– собственный элемент контура – элемент, относящийся только к одному контуру;

– общий элемент контура – элемент, относящийся к двум и более контурам цепи.

Обозначаем, как и раньше, через К число узлов, а через n число ветвей цепи. Тогда число независимых контуров цепи определяется по уже известной формуле [n – (К –1)].

Метод основывается на предположении, что в каждом независимом контуре течёт собственный контурный ток (рис. 1.17), и вначале находят контурные токи в независимых контурах. Токи в ветвях цепи определяют через контурные токи. При этом исходят из того, что в собственных элементах контура токи совпадают с контурным током данного контура, а в общих элементах ток равен алгебраической сумме контурных токов тех контуров, к которым принадлежит данный элемент.

Последовательность расчёта:

1. Определяется число ветвей (n ) и число узлов (К ) цепи. Находится число независимых контуров [n – (К –1)].

2. Выбирается [n – (К –1)] не зависимых контура.

3. Выбирается условно–положительное направление контурных токов в каждом из независимых контуров (обычно показывается стрелкой).

4. Для каждого из независимых контуров составляется уравнение по второму закону Кирхгофа. При этом падение напряжения на собственных элементах определяется как произведение контурного тока на величину сопротивления, а на общих элементах – как произведение алгебраической суммы всех контурных токов, протекающих через данный элемент, на величину его сопротивления. Обход контура производится, как правило, в направлении собственного контурного тока.

5. Решается система из [n – (К –1)] уравнений и находятся контурные токи.

6. Токи в ветвях схемы находятся следующим образом:

– в собственных элементах контура ток равен контурному току;

– в общих элементах контура ток равен алгебраической сумме токов, протекающих через данный элемент.

Рассмотрим в общем виде применение этого метода для расчёта схемы, приведенной на рис. 1.17.

В этой схеме три ветви и два узла, следовательно, в ней только два независимых контура. Выбираем эти контура и показываем в них направления (произвольно) контурных токов I к1 и I к2 . Составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа:

Решив эту систему уравнений, находим контурные токи I к 1 и I к 2 . Затем определяем токи в ветвях:

I 1 = I к 1 , I 3 = I к 2 , I 2 = I к 1 – I к 2 .

РАСЧЕТ МЕТОДОМ НАЛОЖЕНИЯ

Метод применяется для расчета цепей, содержащих несколько (два и более) источников электрической энергии. Подчеркнем, что этот метод применим для расчета только линейных цепей. Метод основывается на том положении, что в каждой ветви цепи ток равен алгебраической сумме токов, создаваемых каждым источником. Следовательно, необходимо определить токи, создаваемые каждым источником в отдельности, а затем их просуммировать с учетом направлений.

Последовательность расчета:

1. В электрической цепи оставляют только один источник ЭДС. Вместо исключенного источника ЭДС ставится или резистор, величина которого равна величине внутреннего сопротивления источника ЭДС, или перемычка, если внутреннее сопротивление источника равно нулю.

2. Определяются токи во всех ветвях, создаваемые этим источником ЭДС.

3. Оставляется в цепи следующий источник ЭДС, а с остальными поступают аналогично тому, как сказано в п. 1.

4. Определяются токи в цепи, создаваемые вторым источником ЭДС.

5. Аналогично поступают с оставшимися источниками.

6. Истинные токи в ветвях цепи определяются как алгебраическая сумма токов в этих ветвях, созданных каждым из источников.

Рассчитаем цепь, изображенную на рис. 1.18, методом наложения. Будем считать, что внутренние сопротивления источников ЭДС равны нулю.

В начале оставляем источник E 1 , а источник E 2 убирается и в место него ставится перемычка (рис. 1.18, б). В полученной схеме находим токи методом эквивалентного преобразования:

Затем оставляем только источник E 2 , а вместо E 1 ставится перемычка (рис. 1.18, в). В полученной схеме определяем токи в ветвях также методом эквивалентного преобразования:

Находим действительные токи в исходной схеме (рис. 1.18, а) алгебраическим суммированием найденных токов.

Ток I 1 равен разности тока I 11 и тока I 12:

I 1 = I 11 – I 12 .

Ток I 2 равен сумме токов I 21 и I 22 , т. к. они совпадают по направлению:

I 2 = I 21 + I 22 .

Ток I 3 равен разности тока I 32 и тока I 31:

I 3 = I 32 – I 31 .