Переходные процессы в электрических цепях. Как рассчитать время разряда конденсатора

Цели

После проведения данного эксперимента Вы сможете продемонстрировать, как величины емкости и сопротивления управляют временем заряда и разряда конденсатора.

Необходимые принадлежности

* Цифровой мультиметр

* Макетная панель

* Источник постоянного напряжения

* Секундомер или часы с секундной стрелкой

* Элементы:

один электролитический конденсатор 22 мкФ, один электролитический конденсатор 100 мкФ, один резистор 33 кОм, 1/4 Вт,

* один резистор 100 кОм, 1/4 Вт, один резистор 220 кОм, 1/4 Вт, один резистор 1 МОм, 1/4 Вт.

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ

Конденсатор представляет собой электроэлемент, который накапливает электричество в форме электрического поля. Когда к конденсатору прикладывается постоянное напряжение, электроны покидают одну обкладку конденсатора и скапливаются на другой обкладке под действием

внешней силы напряжения. Это приводит к заряду конденсатора до напряжения, равного приложенному напряжению.

Положительный заряд на одной обкладке конденсатора и отрицательный заряд на другой обкладке конденсатора создают сильное электрическое поле между обкладками в диэлектрике. Такой заряд удерживается даже в том случае, если источник напряжения отсоединяется. Конденсатор может разряжаться соединением его выводов друг с другом для нейтрализации заряда на обкладках.

Арядка и разрядка конденсатора до определенного напряжения занимает конечный период времени (называемый постоянной времени); это время зависит в основном от емкости конденсатора и включенного последовательно сопротивления. Постоянная времени зарядки - это время, которое требуется конденсатору, чтобы зарядиться до 63, 2% приложенного напряжения. Это время (Т) в секундах выражается так:

Т=RС

Постоянная времени разрядки - это время, которое требуется конденсатору, чтобы разрядиться до 36, 8% от начального заряда.

Время, которое требуется конденсатору, чтобы полностью зарядиться до приложенного напряжения или полностью разрядиться до нуля, приблизительно равно пятикратной постоянной времени, то есть 5Т.

Краткое содержание

Многие электронные схемы основываются на идее использования постоянной времени для своей работы. К таким схемам относятся, например, схемы задержки времени, схемы формирования импульсов и сигналов, а также генераторные схемы. В настоящем эксперименте Вы познакомитесь с постоянной времени заряда и разряда, используя для этого три различных группы резисторов и конденсаторов.

ПРОЦЕДУРА

Процесс зарядки

Резистор 100 кОм; конденсатор 100 мкф

1. Соберите схему, показанную на рисунке 14-1. Соблюдайте полярность при подключении электролитического конденсатора.

Рис. 14-1.

2. Отрегулируйте источник питания на напряжение 12 В.

3. Рассчитайте величину напряжения, которое появится на конденсаторе в течение одной постоянной времени.

Напряжение (Т) = ______ В

4. Рассчитайте постоянную времени, используя значения, показанные на рисунке 14-1. -апишите Ваш результат в колонку 3 на рисунке 14-2. Рассчитайте также значение времени, которое потребуется конденсатору, чтобы полностью зарядиться (5Т). -апишите Ваш результат в колонку 4 на рисунке 14-2.

Рис. 14-2.

5. Соедините измерительные выводы Вашего мультиметра, соблюдая полярность, с выводами конденсатора. Мультиметр должен показать 0 В. Если это не так, на обкладках конденсатора имеется некоторое остаточное напряжение. Удалите его, кратковременно закорачивая выводы конденсатора друг с другом в течение нескольких секунд. Снова выполните измерение напряжения Вашим мультиметром, чтобы убедиться, что напряжение конденсатора равно нулю.

6. Оставьте измерительные выводы мультиметра на выводах конденсатора, свободный конец резистора 100 кОм присоедините к выводу+ 12 В источника питания. В момент присоединения

запустите Ваш секундомер или начните отсчет времени при помощи секундной стрелки Ваших часов. Когда напряжение на конденсаторе начнет расти, замечайте его величину. Когда напряжение на конденсаторе достигнет значения, которое Вы рассчитали в шаге 2, заметьте время по секундомеру или по секундной стрелке. -апишите это значение в качестве измеренной постоянной времени в колонку 5 рисунка 14-2.

ПРИМЕЧАНИЕ: Повторите данный шаг несколько раз, чтобы убедиться в том, что Ваш отсчет времени относительно точен. Ведь Вы пытаетесь наблюдать как за показаниями вольтметра, так и за секундомером, чтобы определить время, необходимое для достижения конкретного уровня напряжения. Это довольно мудреная операция, так что повторите ее несколько раз для большей точности измерений. ВНИМАНИЕ:

если Вам потребуется повторять эксперимент, удаляйте резистор 10кОм и полностью разряжайте конденсатор 100 мкФ, прежде чем приступать к каждому дополнительному измерению. 7. Снова полностью разрядите конденсатор и снова подсоедините измерительные выводы. Коснитесь свободным выводом резистора 100 кОм к выводу +12 В источника питания. На этот раз измерьте время, которое потребуется конденсатору для полной зарядки до величины приложенного напряжения, которое Вы измерили в шаге 1. Как и прежде, начните отсчет времени по секундомеру или по секундной стрелке часов в том момент, когда Вы подаете напряжение на резистор. -апишите это измеренное время,

которое требуется конденсатору для полной зарядки, в колонку 6 рисунка 14-2.

Резистор 11 к0м; конденсатор 22 мкф

8. Повторите шаги с 4 по 7. используя конденсатор 22 мкф и резистор 100 к0м. -аполните поля в таблице на рисунке 14-2, как Вы это делали раньше. Вашими расчетными и измеренными значениями.

Резистор 220 к0м; конденсатор 100 мкф

9. Снова повторите шаги с 4 по 7, но на этот раз используйте конденсатор 100 мкФ и резистор 220 к0м. -апишите Ваши расчетные и измеренные значения в таблицу на рисунке 14-2.

Наблюдение

10. Рассматривая информацию на рисунке 14-2 и замечая различные значения времени, полученные при различных значениях сопротивления и емкости, сделайте Ваше собственное заключение относительно влияния значений сопротивления и емкости на постоянную времени.

Процесс разрядки

Резистор 100 к0м; конденсатор 100 мкф

11. Перекомпонуйте схему, чтобы она соответствовала схеме, показанной на рисунке 14-3. Соблюдайте полярность при подключении электролитического конденсатора. В данной части эксперимента Вы будете демонстрировать процесс разрядки конденсатора. Чтобы сделать это, подключите резистор параллельно конденсатору.

Рис. 14-3.

12. Рассчитайте постоянную времени схемы и время, которое требуется для полной разрядки конденсатора, и запишите Ваши данные в колонку 3 на рисунке 14-4.

Рис. 14-4.

источника питания, которое Вы измерили в шаге 1. Рассчитайте величину напряжения, которое будет присутствовать на Конденсаторе после его разрядки в течение одной постоянной времени.

Напряжение (t) = _______ В

Резистор 100 кОм; конденсатор 22 мкф

14. Подключите измерительные выводы Вашего мультиметра к конденсатору 22 мкф. В данное время напряжение должно равняться нулю, поскольку любой заряд на обкладках конденсатора был устранен в процессе разрядки конденсатора через резистор 1 МОм. Подключите схему к выводу+ 12 В источника питания. Конденсатор заряжается немедленно до напряжения источника питания; последовательно с конденсатором нет подключенного сопротивления.

15. Продолжайте фиксировать измерительные выводы мультиметра параллельно выводам конденсатора. Удалите соединительный провод с вывода+ 12 В источника питания. Одновременно с удалением провода начните отсчет времени по Вашему секундомеру или по секундной стрелке часов. Наблюдайте при этом за напряжением на выводах конденсатора. Когда напряжение достигнет нужного значения, заметьте время. -апишите постоянную времени в колонку 5 таблицы на рисунке 14-4. Как и раньше. Вы можете пожелать повторить шаги 13 и 14 несколько раз, чтобы улучшить точность измерений. Ведь, поскольку Вам приходится наблюдать одновременно за двумя значениями, измерение довольно хитроумно. Усредняя несколько показаний, Вы получите большую точность в измерении.

Резистор 220 кОм; конденсатор 22 мкф

16. Снова повторите шаги с 12 по 15, но на этот раз используйте конденсатор 22 мкф и резистор 220 кОм. Снова рассчитайте значения времени разрядки для одной постоянной времени и для пяти постоянных времени. -апишите все Ваши данные в таблицу на рисунке 14-4.

Наблюдение

17. Рассматривая информацию на рисунке 14-4 и замечая различные значения времени, полученные при различных значениях сопротивления и емкости, сделайте Ваше заключение относительно зависимости между временем разрядки и значениями сопротивления и емкости.

18. На основании сравнения Ваших расчетных и измеренных значений объясните возможные несоответствия.

ОБЗОРНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Требуется то же самое время для полной зарядки конденсатора, какое требуется и для полной его разрядки:

а) высказывание истинно,

б) высказывание ложно.

2. До какого напряжения зарядится конденсатор 5 мкф через резистор 10кОм за одну постоянную времени при его подключении к источнику питания 6 В?

3. Сколько времени потребуется конденсатору из вопроса 2, чтобы полностью разрядиться?

4. Конденсатору требуется 80 миллисекунд, чтобы полностью зарядиться. Поэтому постоянная времени равна:

5. При заданных значениях R (сопротивление) и С (емкость) емкость удваивается, а сопротивление уменьшается в два раза, при этом постоянная времени:

а) остается прежней,

б) удваивается,

в) учетверяется,

г) уменьшается в два раза.

Цель работы : Исследование процессов, происходящих в электрических цепях, содержащих R, L, C - элементы при условии квазистационарности токов.

Сведения из теории

Квазистационарными называются переменные токи, мгновенные значения которых во всех сечениях цепи практически одинаковы, а распространяемые в цепи электромагнитные возмущения имеют скорость, равную скорости света. К мгновенным значениям таких токов применяют закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа.

Достаточным условием квазистационарности является:

гдеL - линейные размеры системы,

T - период,

с - скорость света.

Рассмотрим электрическую цепь простейшего вида, состоящую из последовательно соединенных R , L , C - элементов и источника переменного напряжения e (t ) (рис.1).

Полагая, что токи в цепи (рис.1) квазистационарны, из закона Ома и правила Кирхгофа получаем

UR + UC + UL = e (t ) (2)

Учитывая, что

I = dq / dt , UR = IR ,

UL = - e самоинд. = z × dI/dt (3)

UC = q (c)

для электрической цепи квазистационарного тока запишем дифференциальное уравнение

L + R + http://pandia.ru/text/79/193/images/image006_43.gif" width="256" height="153">.gif" width="275" height="207 src=">

Р и с. 4 Р и с. 5

Короткое замыкание RC - цепи, т. е. разряд конденсатора С на активное сопротивление R , можно описать уравнением:

Uc + UR = 0 , (10)

где Ip = CdUc /dt ; UR = IpR ;

Получим однородное дифференциальное уравнение первого порядка:

Uc + RCdUc /dt = 0 , (11)

Решение этого уравнения имеет вид:

Uc = U0 × e-t/ t c , (12)

где U 0 = Uc (0)

Для тока разряда можно записать

Ip = -(U0/R) × e-t/ t c , (13)

а для напряжения UR - соответственно

UR = - U0 × e-t/ t c . (14)

Временные зависимости для тока и напряжения во время переходного процесса представлены на рис. 6, 7, из которых видно, что напряжение U с и ток Ip убывают по экспоненциальным законам в соответствии с постоянной времени t c = RC .

Р и с. 6 Р и с. 7

Рассмотрим RL - цепь, изображенную на рис.3. При включении U 0 под постоянное напряжение переходный процесс описывается дифференциальным уравнением:

UR + UL = U0 , (15)

где UR = I з R ; UL = LdI з /dt;

т. е. I з R + LdI з /dt = U0 . (16)

Решение этого линейного дифференциального уравнения первого порядка является уравнением типа

I з = U0/R(1 - e-t/ t L ), (17)

где t L = L / R - постоянная времени RL - цепи, равная промежутку времени, по истечении которого ток в цепи изменяется в e = 2,7 раз по сравнению со своим исходным значением I 0 . Напряжение переходного процесса на индуктивности L можно записать в виде

UL = LdI з /dt;

UL = U0 e-t/ t L . (18)

Нарис. 8, 9 представлены динамические характеристики тока в цепи и напряжения UR , UL при переходном процессе. Во время переходного процесса ток в цепи постепенно возрастает от нуля до I 0 = U / R , в это время напряжение на индуктивности убывает от U 0 = UL (0) до нуля.

Р и с. 8 Р и с. 9

При коротком замыкании RL - цепи, происходит разряд катушки индуктивности на активное сопротивление R .

Можно записать

UL + UR = 0, (19)

(L/R)(dIp/dt) + Ip = 0. (20)

Решение уравнения (20) имеет вид

Ip = (U0/R) e-t/ t L . (21)

Получить полный текст

Соответственно

UL = - U0 e-t/ t L , (22)

UR = U0 e-t/ t L . (23)

Из анализа временных зависимостей тока и напряжений следует, что ток в RL - цепи уменьшается по экспоненциальному закону от I 0 = U 0 / R до нуля. Аналогично изменяется и UL (рис. 10, 11).

Р и с. 10 Р и с. 11

Теоретически переходные процессы длятся неограниченно долго. Практически принято считать переходной процесс оконченным, если разность между изменяющейся величиной и ее предельным значением составляет 5%. Например, из выражения (3) имеем

t = t пер , Uc (t пер ) = 0,95 U 0 , 0,95 U 0 = U 0 (1- e - t пер/ t c ),

e - t пер/ t c = 0,05; t пер = 3 t (24)

где t пер - время переходного процесса.

Физический смысл постоянной времени t

Постоянная времени электрической цепи может быть определена графически как длина подкасательной, проведенной в любой точке к кривой, соответствующей рассматриваемой показательной функции времени (рис.12), например

Uc = U0 e-t/ t c ,

Скорость измерения напряжений Uc

Vc = dUc / dt = (U0 / t c ) e-t/ t c ,

При t = 0

Vc= Vmax = dUc / dt ,

t c = U0 | (dUc / dt) | t=0 = dU0 / tg a . (25)

Можно показать, что подкасательная MN экспотенциальной функции не зависит от выбора точки на кривой и от начального значения функции. Величина, соответствующая отрезку MN на оси абсцисс и имеющая размерность времени, называется постоянной времени t .

Дифференцирующие и интегрирующие RC - цепи

Рассмотренные выше случаи заряда и разряда конденсатора аналогичны ситуации в цепи, когда на вход RC - цепи подается одиночный прямоугольный импульс длительностиtu >> t . Процессы, происходящие в такой электрической цепи (рис.13 а, б ) при подаче на вход ее в момент t = 0 идеального прямоугольного импульса напряжения с амплитудой U 0 от генератора с внутренним сопротивлением R 2 = 0 , иллюстрируется временными диаграммами на рис.14.

http://pandia.ru/text/79/193/images/image018_17.gif" width="265" height="182 src=">

а б

Р и с. 13

С моментаt = t 1 (положим t 1 = 0 ), начинается процесс заряда конденсатора, описываемый уравнениями рис.14 а , 14 б ).

При t = t 2 = tu напряжения на конденсаторе и резисторе описываются уравнениями(12), (14) и начинается разряд конденсаторов на сопротивление R (рис.14 а , 14 б ). При этом полярность напряжения на резисторе меняется на противоположную в соответствии с направлением тока разряда конденсатора (ф-ла 13). Следует заметить, что форма напряжения Uc , UR существенно зависит от соотношения между постоянной времени цепи t с и длительностью импульса tu = t 2 - t 1 . На рис. 14 представлены следующие соотношения между t с иtu :

t с / tu = 1 ; t с / tu >> 1; t с / tu << 1.

В случае t с / tu >> 1 конденсатор за время действия импульса почти не заряжается и напряжение на резисторе R практически повторяет по форме и амплитуде импульс на входе. В течение действия импульса в электрическом поле конденсатора накапливается незначительное количество энергии и поэтому после окончания действия импульса (t = t 2 ) в цепи практически не возникает переходный процесс. Такая RC - цепь называется переходной (разделительной).

При t = tu конденсатор успевает зарядиться до Uc (t с / tu ) = 0,63 U 0 ,

UR (t) = UR(t с ) = 0,37U0. После окончания действия импульса в цепи возникает переходный процесс, обусловленный рассеянием энергии, запасенной в конденсаторе. В цепи появляется разрядный ток, направление которого противоположно направлению зарядного тока. При

t с / tu << 1 конденсатор успевает зарядиться уже в начале импульса

(U0 = Uc). На сопротивлении появится короткий импульс положительной полярности, обусловленный протеканием зарядного тока. В момент окончания входного импульса (t = t 2 ) в цепи возникает ток разряда конденсатора и на резисторе появится отрицательный импульс (рис.15 б ).

http://pandia.ru/text/79/193/images/image020_16.gif" width="302" height="503 src=">

а б

Р и с. 14

Выходным элементом RC - цепи может быть как конденсатор С (рис.15), так и резистор R (рис.1 6). Как следует из приведенных выше временных диаграмм Uc (t ), UR (t ) форма выходного сигнала будет зависеть от соотношения между длительностью импульсаtu и постоянной времени t с .

http://pandia.ru/text/79/193/images/image022_11.gif" width="294" height="617 src=">

Р и с. 15 Р и с. 16

Рассмотрим цепь, изображенную на рис.15, т. е. с емкостным выходом:

UR (t) = I(t)R = U вх (t) - Uc(t), (26)

Uc (t ) = q (t ) / С = 1/С ò I (t ) dt = 1/С ò [ U вх (t ) - Uc (t ) ] R dt ,

еслиUc (t ) << U вх (t ), то Uc (t ) = 1/С ò U вх (t ) , (27)

т. е. выходное напряжение пропорционально интегралу от входного. Поэтому RC - цепь с емкостным выходом (t с / tu >> 1) называется интегрирующей.

Рассмотрим RC - цепь, изображенную на рис. 16, т. е. с резистивным выходом:

I(t) = dq(t) / dt = C dUc(t) / dt

где q ( t ) - заряд на конденсаторе.

Напряжение на резисторе

UR (t) = I(t)R = RC × dUc / dt = RC d/dt × [ U вх (t) - UR(t) ] ,

так как Uc (t ) - UR (t ) = U вх (t ).

Если UR(t) << Uвх(t) , то UR(t) = RC × dUвх(t) / dt,

т. е. выходное напряжение пропорционально производной входного. Такую RC - цепь называют дифференцирующей (укорачивающей). Обычно длительность выходных (укороченных) импульсов такой RC - цепи определяют на уровне 0,5 U 0 , т. е.

Получить полный текст

0,5 U0 = U0 e-tu/ t c , (28)

Имеем: ln 0,5 = - tu / t , илиtu = 0,7 t c .

Выражение (28) может быть использовано для экспериментального определения t с = RC .

Экспериментальная часть

Экспериментальные исследования проводятся на макете монтажной платы, на которой размещаются: батарея конденсаторов - С1 = 6800 пФ, С2 = 0,01 мкФ, С3 = 0,1 мкФ ; катушка индуктивности L = 0,1 Г ; магазин сопротивлений R (рис. 17).

Исследуемые RLC - цепи составляются из отдельных элементов, расположенных на макете.

Генератор типа Г3-112 обеспечивает сигналы: прямоугольные импульсы амплитудой U 0 = 1 ¸ 5 В различной длительности. Для наблюдения формы тока и напряжения используется осциллограф С1-73.

Порядок выполнение работы

1. Определить период прямоугольных импульсов генератора.

С выхода генератора 3Гподать сигнал на вход “Y” осциллографа (рис.18).

При минимальной синхронизации получить на экране 1-2 периода в режиме непрерывной развертки. Определить период сигнала T , длительность импульса tu , скважность Q = T / t u , используя калибровку развертки осциллографа. Результат записать в таблицу 1.

Т а б л и ц а 1

	tu , c

Повторить определение параметров прямоугольного импульса для трех значений tu . Результаты занести в таблицу 1.

2. Изучение процесса заряда катушки индуктивности через сопротивление.

Собрать электрическую схему (рис.19) с катушкой индуктивности L . Сопротивление цепи R подобрать так, чтобы на экране осциллографа наблюдалась картина изменения напряжения UL .

Изменяя сопротивление R (установить R 1 , R 2 , R 3 ), зарисовать полученные осциллограммы. Сравнить величины t z (рассчитанные по формуле 17 ) и экспериментальные данные и записать в таблицу 2.

Таблица 2

	t L , расч	t L , экспер.
R 1
R 2
R 3

3. Изучение процесса заряда конденсатора через сопротивление.

Собрать электрическую цепь по схеме рис. 20 с конденсатором C = 6800 пФ. Сопротивление цепи R подобрать так, чтобы t с << T 0 / 2, гдеT 0 - периодсигнала.

t с = RC = (0,1 ¸ 0,2) × T 0 / 2

Определить R по этой формуле. Получить на экране осциллографа в режиме непрерывной развертки картину изменения напряжения при заряде конденсатора. Зарисовать картину в тетради.

Оценить по рисунку t с цепи, используя выражения

U с (t с ) » 0,63 U 0 (заряд)

U с (t с ) » 0,37 U 0 (разряд)

Результаты занестив таблицу 3.

Таблица 3

		t с заряд	t с разряд

Аналогичные расчеты провести с конденсаторами С2 и С3. Сравнить полученные картины. Изменяя R (в сторону увеличения) зарисовать полученные осциллограммы, отмечая t с .

4. Изучение работы интегрирующей цепи.

Интегрирующая цепь удовлетворительна, если постоянная t с = RC приблизительно равна или больше периода сигналаT 0 , т. е. t с = RC = T 0 .

Собрать схему по рис. 20 с элементами C = 0,01 мкФ, R подобрать, исходя из соотношения R = T 0 / C .

Зарисовать полученную на экране осциллографа картину. Зарисовать зависимостьU вх (t ) ; ò U вх (t ) dt .

5. Изучение работы дифференцирующей цепи.

Собрать электрическую цепь по схеме (рис.21) с конденсатором С1 = 0,1 мкФ.

Сопротивление R определяем из условия t с = RC = (0,1 ¸ 0,2) T 0 /2.

Зарисовать кривую тока заряда конденсатора и оценитьt с . Занести результаты в таблицу 4.

Таблица 4

		t с
	С1 = 0,1 мкФ
	С2 = 6800 пФ

Для дифференцирования сигнала в виде прямоугольного импульса необходимо выполнение условия t ф >> RC = t с , гдеt ф - фрект импульса.

Обычно ограничиваются условием t с = RC = (0,01 ¸ 0,02) T 0 .

Собрать схему по рис. 21 с конденсатором С = 0,01 мкФ, подобрать сопротивление R , получить на экране осциллографа картину и зарисовать ее.

Внести сопротивление R 1 (увеличивая его) и зарисовать графики U вх (t ) и dU вх (t ) / dt .

ПРИМЕР РАБОТЫ ПРОГРАММЫ

http://pandia.ru/text/79/193/images/image029_2.jpg" width="553" height="415">

Задание 1

Период сигнала Т, с

Длительность импульса tи, с

Скважность Q

Задание 2

Значение индуктивности L, Гн

Значение сопротивления R, Ом

Расчитанное значение постоянной времени TL, с

Экспериментальное значение постоянной времени TL, с

Задание 3

Значение емкости, Ф

Значение сопротивления R, Ом

Значение постоянной времени TL (заряд), с

Значение постоянной времени TL (разряд), с

Задание 4

Постоянная времени Т, с

Значение емкости конденсатора, Ф

Сопротивление R, Ом

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Какие токи называются квазистационарными? Физический смысл постоянной времени t ? Принцип работы дифференцирующей цепи? Принцип работы интегрирующей цепи? Переходные процессы в RZ - цепях?

Сведения из теории

Переходные процессы в RС и RL - цепях………………………………………………. 4

Физический смысл постоянной времени t ………………………………………9

Дифференцирующие и интегрирующие RC – цепи…………………………………….10

Экспериментальная часть………………………………………………………………...14

Порядок выполнение работы…………………………………………………………….15

Пример работы программы………………………………………………………………18

Контрольные вопросы……………………………………………………………………21

Разряд предварительно заряженного конденсатора через активное сопротивление (через резистор) является простейшим переходным процессом.

Пусть конденсатор ёмкостью С заряжен до напряжения U . В момент t =0 замыкается ключ К и конденсатор начинает разряжаться через активное сопротивление R . Так как здесь внешнего воздействия нет, то в цепи будет только свободный процесс.

Выбрав направление обхода, запишем для этой цепи второе уравнение Кирхгофа:

u R −u C =0,

iR −u C =0. (1)

А так как для конденсатора ток i здесь является разрядным , то

, и тогда

, (2)

или

,

где

−постоянная времени RC -цепочки.

Общее решение этого однородного уравнения имеет вид (проинтегрировать самостоятельно; однако, решение уравнения такого типа надо знать ):

где А – коэффициент, определяемый начальным условием , т.е.

− напряжением на конденсаторев первый момент после замыкания ключа К . Так как, по условию, до замыкания напряжение

, а напряжение на конденсаторе скачком измениться не может (это привело бы к тому, что

, тогда как в уравнении (2)и С – конечно), то

(это второе правило коммутации).

Это даёт: А =U , и, следовательно,

. (3)

Отсюда видно, что τ – это время, за которое напряжение на конденсаторе убывает в е раз:

2,7.

Реально время переходного процесса оценивается примерно в 3τ, когда напряжение уменьшается в е 3 = 20 раз, или когда до установившегося значения осталось лишь 1/20 = 5 % от исходного напряжения U .

Пример . Пусть С =1 мкФ, R =1 кОм. Тогда время переходного процесса Δt перх. =3τ=3RC =3 мс.

Теперь легко получить закон убывания тока в цепи:

Видно, что он точно такой же, как и закон убывания напряжения.

3.2. Включение постоянного напряжения

в последовательную цепь RC

Рассмотрим теперь процесс заряда конденсатора через активное сопротивление R от генератора с постоянным напряжением U .

Пусть в момент t =0 замыкается ключ К . Тогда второе уравнение Кирхгофа для выбранного направления обхода контура будет таким:

или, так как i = C (du C / dt ),

, (4)

где

−постоянная времени RC -цепочки.

Общее решение этого неоднородного уравнения равно сумме его частного решения и общего решения соответствующего однородного. Частное решение легко угадывается: и С частн. =U (оно проверяется простой подстановкой). Тогда

Коэффициент А определяется из начального условия: и С (+0)=и С (−0)=0. Это даёт: А =−U ; и тогда

Ток заряда

3.3. Включение постоянного напряжения

в последовательную цепь RL

Процессы при коммутациях в цепи RL описываются такими же дифференциальными уравнениями, как и (2) или (4), поэтому подробнее остановимся лишь на некоторых специфических особенностях.

Второе уравнение Кирхгофа:

, или:

.

Или:

, (5)

где

−постоянная времени цепи RL .

Общее решение неоднородного уравнения (5): i = i однор. +i частн. =

.

Начальное условие:i (+0) = i (−0)=0 (ток через индуктивность скачком измениться не может, так как это противоречило бы уравнению (5)). Отсюда А =−U /R , и тогда

. (6)

Замечание 1 . При R =0 (подключение напряжения U к идеальной индуктивности) уравнение (5) принимает вид:

, откуда

, т.е. ток в катушке линейно и бесконечно растёт (наклонный пунктир на рисунке). Это следует и из (6) при разложении экспоненты в ряд Тейлора по малому параметру (t /τ):

.

Замечание 2 . Если скачки тока через индуктивности и скачки напряжения на ёмкости запрещены, то скачки напряжения на катушке и тока на конденсаторе не противоречат уравнениям Кирхгофа.

Постоянная времени цепи RC

Электрическая цепь RC

Рассмотрим ток в электрической цепи, состоящей из конденсатора ёмкостью C и резистора сопротивлением R, соединённых параллельно.
Значение тока заряда или разряда конденсатора определится выражением I = C(dU/dt), а значение тока в резисторе, согласно закону Ома, составит U/R, где U - напряжение заряда конденсатора.

Из рисунка видно, что электрический ток I в элементах C и R цепи будет иметь одинаковое значение и противоположное направление, согласно закону Кирхгофа. Следовательно, его можно выразить следующим образом:

Решаем дифференциальное уравнение C(dU/dt)= -U/R

Интегрируем:

Из таблицы интегралов здесь используем преобразование

Получаем общий интеграл уравнения: ln|U| = - t/RC + Const.
Выразим из него напряжение U потенцированием: U = e-t/RC * eConst.
Решение примет вид:

U = e-t/RC * Const.

Здесь Const - константа, величина, определяемая...

0 0

Если соединить резистор и конденсатор, то получится пожалуй одна из самых полезных и универсальных цепей.

О многочисленных способах применения которой я сегодня и решил рассказать. Но вначале про каждый элемент в отдельности:

Резистор - его задача ограничивать ток. Это статичный элемент, чье сопротивление не меняется, про тепловые погрешности сейчас не говорим - они не слишком велики. Ток через резистор определяется законом ома - I=U/R, где U напряжение на выводах резистора, R - его сопротивление.

Конденсатор штука поинтересней. У него есть интересное свойство - когда он разряжен то ведет себя почти как короткое замыкание - ток через него течет без ограничений, устремляясь в бесконечность. А напряжение на нем стремится к нулю. Когда же он заряжен, то становится как обрыв и ток через него течь перестает, а напряжение на нем становится равным заряжающему источнику. Получается интересная зависимость - есть ток, нет напряжения, есть напряжение...

0 0

16-2. Зарядка и разряд конденсатора

а) Зарядка конденсатора

Присоединим цепь, состоящую из незаряженного конденсатора емкостью С и резистора с сопротивлением R, к источнику питания с постоянным напряжением U (рис. 16-4).

Так как в момент включения конденсатор еще не заряжен, то напряжение на нем Поэтому в цепи в начальный момент времени падение напряжения на сопротивлении R равно U и возникает ток, сила которого

Рис. 16-4. Зарядка конденсатора.

Прохождение тока i сопровождается постепенным накоплением заряда Q на конденсаторе, на нем появляется напряжение и падение напряжения на сопротивлении R уменьшается:

как и следует из второго закона Кирхгофа. Следовательно, сила тока

уменьшается, уменьшается и скорость накопления заряда Q, так как ток в цепи

С течением времени конденсатор продолжает заряжаться, но заряд Q и напряжение на нем растут все медленнее (рис. 16-5), а сила тока в...

0 0

Калькуляторы рассчитывают параметры разрядки и зарядки конденсатора от источника постоянной ЭДС через сопротивление. Формулы, по которым идет расчет, приведены под калькуляторами
Заряд конденсатора от источника постоянной ЭДС Точность вычисления:

Время зарядки конденсатора до 99.2%, миллисекунд:

Начальный ток, Ампер:

Напряжение на конденсаторе, Вольт:

Заряд на конденсаторе, микроКулон:

Энергия конденсатора, миллиДжоуль:

Работа, совершенная источником, миллиДжоуль:

Разряд конденсатора через сопротивление Точность вычисления:

Начальная энергия конденсатора, миллиДжоуль:

Начальный заряд конденсатора, микроКулон:

Постоянная времени RC-цепи, миллисекунд:

Начальный ток, Ампер:

Максимальная рассеиваемая мощность, Ватт:

Конечный заряд конденсатора, микроКулон:

Конечная энергия...

0 0

Заряд конденсатора

Для того чтобы зарядить конденсатор, необходимо включить его в цепь постоянного тока. На рис. 1 показана схема заряда конденсатора. Конденсатор С присоединен к зажимам генератора. При помощи ключа можно замкнуть или разомкнуть цепь. Рассмотрим подробно процесс заряда конденсатора.

Генератор обладает внутренним сопротивлением. При замыкании ключа конденсатор зарядится до напряжения между обкладками, равного э. д. с. генератора: Uс = Е. При этом обкладка, соединенная с положительным зажимом генератора, получает положительный заряд (+q), а вторая обкладка получает равный по величине отрицательный заряд (-q). Величина заряда q прямо пропорциональна емкости конденсатора С и напряжению на его обкладках: q = CUc

Pис. 1. Схема заряда конденсатора

Для того чтобы обкладки конденсатора зарядились, необходимо, чтобы одна из них приобрела, а другая потеряла некоторое количество электронов. Перенос электронов от одной обкладки к...

0 0

RC - цепь. Резисторно - конденсаторная схема. Резистор, конденсатор. Изменение напряжения. Расчет онлайн. Постоянная времени

Расчет RC - цепи, изменения напряжения на конденсаторе в зависимости от времени. Постоянная времени. (10+)

RC - цепь. Постоянная времени. Зарядка и разрядка конденсатора

Соединим конденсатор, резистор и источник напряжения так, как показано на схеме:

Если в начальный момент напряжение на конденсаторе отличается от напряжения источника питания, то через резистор потечет ток, а напряжение на конденсаторе будет со временем изменяться, приближаться к напряжению источника питания. Полезно уметь рассчитывать время, за которое напряжение изменится от заданного начального до заданного конечного значения. Такие расчеты необходимы для проектирования цепей задержки, релаксационных генераторов, источников пилообразного напряжения.

В процессе изменения напряжения на конденсаторе...

0 0

Конденсатор – это элемент электрической цепи, который способен накапливать электрический заряд. Важной особенностью конденсатора является его свойство не только накапливать, но и отдавать заряд, причем практически мгновенно.

Согласно второму закону коммутации напряжение на конденсаторе не может измениться скачком. Эта особенность активно используется в различных фильтрах, стабилизаторах, интегрирующих цепях, колебательных контурах и тд.

В том, что напряжение не может измениться мгновенно, можно убедиться из формулы

Если бы напряжение в момент коммутации изменилось скачком, это означало бы, что скорость изменения du/dt =...

0 0

vovavova писал(а):То есть, судя по Вашему разъяснению берем формулу:
Секунды = (3 или 4 постоянное времени) х RC
Отсюда, чтобы получить необходимое сопротивление получаем:
R = секунды / (3 или 4 постоянное времени) х С
где: С – в микрофарадах и R – в мегаомах.
Правильно?

Неправильно. RC - это и есть постоянная времени. Время разрядки Tр = (3...4)RC, то есть конденсатор ёмкостью 1мкФ разрядится через резистор 1 МОм за 3 с на 95 %, а за 4 с на 98 %.

vovavova писал(а):Не могли бы Вы более подробно пояснить, что значит «...больше периода сетевого напряжения» - это в цифрах как?

В технике, когда говорят "много больше", обычно имеют в виду "больше не менее, чем в 10, а лучше в 100 раз". Частота сетевого напряжения - 50 Гц, значит его период... Дальше считайте сами.

vovavova писал(а):И напишите еще, пожалуйста, как при этом рассчитать мощность резистора?

Форма напряжения на конденсаторе и включённом параллельно ему резисторе в...

0 0

Отвечаю.
1. При параллельном соединении конденсаторов их ёмкости суммируются. Таким образом, ёмкость С батареи из 8 конденсаторов по 4700 мкФ каждый составит 37600 мкФ.
2. Зависимость напряжения от времени заряда даётся формулой
U = U0*(1-Exp(-t/T)),
где U0 - ЭДС источника (у Вас - 45 Вольт), t - время заряда, Т - постоянная времени, равная R*C.
Таким образом, чтобы провести расчет, необходимо знать R - активное сопротивление в цепи заряда. Если оно реально присутствует, т.е. заряд осуществляется с включенным последовательно с конденсатором резистором, то всё просто. Если же нет - то нужно знать т.н. внутреннее сопротивление источника напряжения. Просто 45 Вольт - это ни о чем не...

0 0

Рассмотрим схему, в которой путем включения переключателя П в положение 1 замыкают источник постоянного напряжения U на конденсатор емкостью С. На обкладках конденсатора начинают скапливаться заряды и напряжение исувеличивается до значения, равного U. Это процесс зарядки конденсатора – процесс увеличения энергии электрического поля конденсатора, которая в конце процесса достигает значения CU2/2.

Чтобы зарядить конденсатор до напряжения ис=U, ему надо сообщить заряд Q=CU, Этот заряд не может быть сообщен мгновенно, так как для этого потребовался бы ток...

0 0

Михаил, с совой очень кстати пример. Трудно объяснить человеку, незнакомому с самыми школьными азами электричества
такие вещи, как постоянная времени заряда (разряда) и методику расчета. Можно самому посчитать и дать готовый результат.
В частности, ионистор на 1 фараду при напряжении 10 вольт накопит энергии W = 1*10*10/2=50 Дж,
1 джоуль равен 1/3600 Вт*час=1/3600 000 кВт*час, значит в 360 раз меньше, чем "крона".
Покупаешь 360 ионисторов на 1 фараду и хватит на сутки засветить хиленький светодиод.
Или ждешь развития прогресса, пока в объеме пальчикового аккумулятора сделают ионистор на 360 фарад.
Время разряда конденсатора точно можно посчитать только методами высшей математики,
надо решать дифференциальное уравнение, правда, самое примитивное из всех возможных, но все же.
А приблизительно прикинуть можно так:
Заряд, накопленный конденсатором Q=C*U, заряд, протекший через диод, Q=I*t,
C*U=I*t, t=C*U/I, для С=5000...

0 0

Заряд и разряд конденсатора через сопротивление
Заряд конденсатора емкостью от источника тока через наружное сопротивление происходит в соответствии с формулой

при этом мгновенный зарядный ток:

Где - рассматриваемый момент времени в секундах от момента начала заряда; - напряжение на обкладках конденсатора момент времени t в Вольтах; - напряжение источника, от которого производится заряд конденсатора в Вольтах - емкость конденсатора в Фарадах - сопротивление последовательной цепи в Омах - постоянная времени в секундах (). Разряд конденсатора емкостью, заряженного до разности потенциалов через сопротивление представляющее внешнее сопротивление разрядной цепи или внутреннее сопротивление утечки самого конденсатора происходит в соответствии с формулой

Мгновенная величина разрядного тока

Где - напряжение между обкладками конденсатора через секунд после начала разряда,- ток в цепи (внешней или внутренней) конденсатора...

0 0

- Емкость, конденсатор -

Данный справочник собран из разных источников. Но на его создание подтолкнула небольшая книжка "Массовой радиобиблиотеки" изданная в 1964 году, как перевод книги О. Кронегера в ГДР в 1961 году. Не смотря на такую ее древность, она является моей настольной книгой (наряду с несколькими другими справочниками). Думаю время над такими книгами не властно, потому что основы физики, электро и радиотехники (электроники) незыблемы и вечны.

Накопленная в конденсаторе энергия, определяемая в джоулях (дж), равна:

С -емкость, ф;
U-напряжение, в.
Во время заряда или разряда конденсатора величина протекающего тока изменяется. Мгновенное значение тока выражается формулой:

0 0

Необходимые принадлежности

* Цифровой мультиметр

* Макетная панель

* Источник постоянного напряжения

* Секундомер или часы с секундной стрелкой

* Элементы:

* один резистор 100 кОм, 1/4 Вт, один резистор 220 кОм, 1/4 Вт, один резистор 1 МОм, 1/4 Вт.

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ

внешней силы напряжения. Это приводит к заряду конденсатора до напряжения, равного приложенному...

0 0

Рассмотрим RC-цепь, изображенную на рис. 3.20,а. Пусть на входе этой цепи действует напряжение u1(t).

Рис. 3.20. Дифференцирующие RC-(а) и RL-(б) цепи.

Тогда для этой цепи справедливо соотношение

и с учетом преобразований будем иметь

(3.114)

Если для данного сигнала выбрать постоянную времени цепи τ=RC настолько большим, что вкладом второго члена правой части (3.114) можно пренебречь, то переменная составляющая напряжения uR≈u1. Это значит, что при больших постоянных времени напряжение на сопротивлении R повторяет входное напряжение. Такую цепь применяют тогда, когда необходимо передать изменения сигнала без передачи постоянной составляющей.

При очень малых значениях τ в (3.114) можно пренебречь первым слагаемым. Тогда

(3.115)

т. е. при малых постоянных времени τ RC-цепь (рис. 3.20,а) осуществляет дифференцирование входного сигнала, поэтому такую цепь называют дифференцирующей RC-цепью.

Аналогичными свойствами обладает и RL-цепь (рис. 3.20,б).

Рис. 3.21. Частотные (а) и переходная (б) характеристики дифференцирующих цепей.

Сигналы при прохождении через RС- и RL-цепи называют быстрыми, если

или медленными, если

Отсюда следует, что рассмотренная RC-цепь дифференцирует медленные и пропускает без искажения быстрые сигналы.

Для гармонической э. д. с. аналогичный результат легко получить, вычисляя коэффициент передачи цепи (рис. 3.20,а) как коэффициент передачи делителя напряжения со стационарными сопротивлениямиR и XC=1/ωC:

(3.116)

При малых τ, а именно когда τ<<1/ω, выражение (3.116) преобразуется в

При этом фаза выходного напряжения (аргумент K) равна π/2. Сдвиг гармонического сигнала по фазе на π/2 эквивалентен его дифференцированию. При τ>>1/ω коэффициент передачи K≈1.

В общем случае модуль коэффициента передачи (3.116), или частотная характеристика цепи (рис. 3.20,а):

(3.118)

а аргумент K, или фазовая характеристика этой цепи:

Эти зависимости показаны на рис. 3.21,а.

Такими же характеристиками обладает RL-цепь на рис. 3.20,б с постоянной времени τ=L/R.

Если в качестве выходного сигнала взять единичный скачок напряжения , то интегрированием уравнения (3.114) можно получить переходную характеристику дифференцирующей цепи, или временную зависимость выходного сигнала при единичном скачке напряжения на входе:

График переходной характеристики показан на рис. 3.21,б.

Рис. 3.22. Интегрииующие RC-(а) и LC-(б) цепи.

Рассмотрим RC-цепь, изображенную на рис. 3.22,а. Она описывается уравнением

(3.121)

При малых τ=RC (для «медленных» сигналов) uC≈u1. Для «быстрых» сигналов напряжение u1 интегрируется:

Поэтому RC-цепь, выходное напряжение которого снимается с емкости C называют интегрирующей цепью.

Коэффициент передачи интегрирующей цепи определяется выражением

(3.123)

При ω<<1/τ K≈1.

Частотная и фазовая характеристики описываются соответственно выражениями

(3.124)

Рис. 3.23. Частотные (а) и переходная (б) характеристики интегрирующих цепей.

и изображены на рис. 3.23,а. Переходная характеристика (рис. 3.23,б) получается интегрированием (3.121) при :

При равных постоянных времени такими же свойствами обладает RL-цепь, изображенная на рис. 3.22,б.

Электрическая цепь, в к-рой выходное напряжение U вых (t)(или ток) пропорционально интегралу по времени от входного напряжения U вх (t) (или тока):

Рис. 1. Интегратор на операционном усилителе. <В основе действия И. ц. лежит накопление заряда на конденсаторе с ёмкостью С под действием приложенного тока или накопление магн. потока в катушке с индуктивностью L под действием приложенного напряжения Преимущественно используются И. ц. с конденсатором. <С наиб, точностью указанный принцип реализуется в интеграторе на операц. усилителе (ОУ) (рис. 1). Для идеального ОУ разность напряжений между его входами и входные токи равны нулю, поэтому ток, протекающий через сопротивление R, равен току заряда

конденсатора С, а напряжение в точке их соединения равно нулю. В результате Произведение RС=t, характеризующее скорость заряда конденсатора, наз. постоянной времени И. ц. <Широко используется простейшая RC-И. ц. (рис. 2, а). В этой схеме ток заряда конденсатора определяется разностью входного и выходного напряжений поэтому интегрирование входного напряжения выполняется приближённо и тем точнее, чем меньше выходное напряжение по сравнению с входным. Последнее условие выполняется, если постоянная времени t много больше интервала времени, по к-рому происходит интегрирование. Для правильного интегрирования импульсного входного сигнала необходимо, чтобы t была много больше длительности импульса Т(рис. 3). Аналогичными свойствами обладает RL-И. ц., показанная на рис. 2, б, для к-рой постоянная времени равна L/R.

Рис. 3. 1 - входной прямоугольный импульс; 2 - выходное напряжение интегрирующей цепи при tдT.

И. ц. применяются для преобразования импульсов, модулированных по длительности, в импульсы, модулированные по амплитуде, для удлинения импульсов, получения пилообразного напряжения, выделения низкочастотных составляющих сигнала и т. п. И. ц. на операц. усилителях применяются в устройствах автоматики и аналоговых ЭВМ для реализации операции интегрирования.

53.Переходные процессы. Законы коммутации и их применение.

Перехо́дные проце́ссы - процессы, возникающие в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих их из стационарного состояния в новое стационарное состояние, то есть, - при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например, ключей, переключателей для включения или отключения источника или приёмника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.

Физическая причина возникновения переходных процессов в цепях - наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, то есть индуктивных и ёмкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих элементов не может изменяться скачком при коммутации (процесс замыкания или размыкания выключателей) в цепи.

Переходный процесс в цепи описывается математически дифференциальным уравнением

неоднородным (однородным), если схема замещения цепи содержит (не содержит) источники ЭДС и тока,
линейным (нелинейным) для линейной (нелинейной) цепи.

Длительность переходного процесса длятся от долей наносекунд до годов. Зависят от конкретной цепи. Например, постоянная времени саморазряда конденсатора с полимерным диэлектриком может достигать тысячелетия. Длительность протекания переходного процесса определяется постоянной времени цепи.

Законы коммутации относятся к энергоемким (реактивным) элементам, т. е. к емкости и индуктивности. Они гласят: напряжение на емкости и ток в индуктивности при конечных по величине воздействиях являются непрерывными функциями времени, т. е. не могут изменяться скачком.

Математически эта формулировка может быть записана следующим образом

Для емкости;

Для индуктивности.

Законы коммутации являются следствием определений элементов емкости и индуктивности.

Физически закон коммутации для индуктивности объясняется противодействием ЭДС самоиндукции изменению тока, а закон коммутации для емкости – противодействием напряженности электрического поля конденсатора изменению внешнего напряжения.

54.Вихревые токи, их проявления и использование.

Вихревые токи или токи Фуко́ (в честь Ж. Б. Л. Фуко) - вихревые индукционные токи, возникающие в проводниках при изменении пронизывающего их магнитного поля.

Впервые вихревые токи были обнаружены французским учёным Д. Ф. Араго (1786-1853) в 1824 г. в медном диске, расположенном на оси под вращающейся магнитной стрелкой. За счёт вихревых токов диск приходил во вращение. Это явление, названное явлением Араго, было объяснено несколько лет спустя M. Фарадеем с позиций открытого им закона электромагнитной индукции: вращаемое магнитное поле наводит в медном диске вихревые токи, которые взаимодействуют с магнитной стрелкой. Вихревые токи были подробно исследованы французским физиком Фуко (1819-1868) и названы его именем. Он открыл явление нагревания металлических тел, вращаемых в магнитном поле, вихревыми токами.

Токи Фуко возникают под воздействием переменного электромагнитного поля и по физической природе ничем не отличаются от индукционных токов, возникающих в линейных проводах. Они вихревые, то есть замкнуты в кольце.

Электрическое сопротивление массивного проводника мало, поэтому токи Фуко достигают очень большой силы.

Тепловое действие токов Фуко используется в индукционных печах - в катушку, питаемую высокочастотным генератором большой мощности, помещают проводящее тело, в нём возникают вихревые токи, разогревающие его до плавления.

С помощью токов Фуко осуществляется прогрев металлических частей вакуумных установок для их дегазации.

Во многих случаях токи Фуко могут быть нежелательными. Для борьбы с ними принимаются специальные меры: с целью предотвращения потерь энергии на нагревание сердечников трансформаторов, эти сердечники набирают из тонких пластин, разделённых изолирующими прослойками. Появление ферритов сделало возможным изготовление этих сердечников сплошными.

Вихретоковый контроль - один из методов неразрушающего контроля изделий из токопроводящих материалов.

55. Трансформатор, основные свойства и виды конструкции.